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테일러 전개 예제

분석 기능에 대한 테일러 시리즈의 용도는 다음과 같습니다: 테일러 시리즈는 또한 [14][15] 이러한 함수에 대한 x = 1에서 테일러 시리즈 확장을 찾기와 함께 하나 이상의 변수의 함수에 일반화 될 수있다. 기본 확장 점은 0입니다. 다른 확장 지점을 지정하려면 ExpansionPoint: 솔루션 2이전 솔루션이 너무 나쁘지 않았으며 종종 이러한 방식으로 작업을 수행해야 합니다. 그러나이 경우 훨씬 더 짧은 솔루션 방법이 있습니다. 이전 섹션에서는 새 시리즈를 찾는 데 도움이 되는 시리즈를 이미 사용했습니다. 이 것으로 같은 일을 할 수 있습니다. 우리는 이미 ({{{{{{{{{{{}}}}}}})에 대한 테일러 시리즈를 알고 있으며,이 경우 유일한 차이점은 (x)가 아닌 지수에 “-(x)”를 가지고 있다는 것입니다. Maclaurin 시리즈는 18 세기에 테일러 결과의 특별한 사건을 출판 콜린 Maclaurin, 에딘버러에서 교수의 이름을 따서 명명되었다. 우리는 함수에 대한 대략적인 값을 얻기 위해 테일러 시리즈의 처음 몇 용어를 사용할 수 있습니다. 이 예제에서는 ({{{{bf{{e}}^x})에 대한 테일러 시리즈가 이미 있다는 사실을 활용합니다(x = 0). 이 예제에서는 이전 예제와 달리 이 작업을 직접 수행하는 것이 훨씬 더 길고 어렵습니다. 자연 logarithm에 대 한 테일러 시리즈는 (큰 O 표기술을 사용 하 여) 그래서, 우리는이 시점에 테일러 시리즈의 꽤 몇 가지 예를 본 적이 그리고 그들 모두에서 우리는 시리즈에 대 한 일반적인 수식을 찾을 수 있었다. 항상 그렇지는 않습니다.

일반 수식이 없는 예제를 보려면 다음 섹션의 마지막 예제를 확인하십시오. 이 섹션을 떠나기 전에 이 섹션에서 파생된 세 가지 중요한 테일러 시리즈가 있습니다. 내 수업에서 나는 당신이이 시점에서 이러한 수식을 알고 있다고 가정합니다. 삼각법 푸리에 계열은 주기적인 함수(또는 닫힌 간격 [a,b]에 정의된 함수)를 무한한 삼각 함수(사및 코사네)로 표현할 수 있게 합니다. 이러한 의미에서, 푸리에 시리즈는 테일러 시리즈와 유사하다, 후자는 하나의 힘의 무한한 합으로 기능을 표현 할 수 있기 때문에. 그럼에도 불구하고 두 시리즈는 여러 관련 문제에서 서로 다릅니다 : 그래서, 우리가해야 할 일은 첫 번째 예제에서 발견 한 테일러 시리즈의 (x)을 “-(x)”로 바꾸는 것입니다. 및 1에서 로그 x에 대한 해당 테일러 시리즈는 T = 테일러 (f,var) 포인트 var = 0에서 다섯 번째 순서까지 f의 테일러 시리즈 확장f 근사화이다. var을 지정하지 않으면 테일러는 심바(f,1)에 의해 결정된 기본 변수를 사용합니다.

여기서 함수의 0에서 테일러 계열이 단계 크기 h를 가진 n번째 유한 차이 연산자라고 가정합니다. 이 시리즈는 정확히 테일러 시리즈입니다, 분할 차이는 차별화 대신 에 나타납니다 제외: 시리즈는 공식적으로 뉴턴 시리즈와 유사하다. 함수 f가 분석적인 경우 시리즈의 용어는 테일러 시리즈의 용어로 수렴되며, 이러한 의미에서 일반적인 테일러 시리즈를 일반화합니다. 대조적으로, 또한 자연 로그 기능 로그(1 + x)와 A = 0 주위의 테일러 다항식의 일부 그림도 도시되어 있다. 이러한 근사치는 -1 < x ≤ 1 영역에서만 함수로 수렴됩니다. 이 영역 의 외부 높은 수준의 테일러 다항식함수에 대한 더 근사치입니다. 이것은 룬지의 현상과 유사합니다. [인용 필요] 이 시점에서 우리는 단지 (x = 0)에 대한 테일러 시리즈를 살펴 봤는데 (또한 Maclaurin 시리즈라고도 함) 그래서 에 대한되지 않은 테일러 시리즈를 살펴 보자 (x = 0). 또한 일부 작업을 더 쉽게 만들기 때문에 지수 함수를 한 번 더 선택합니다.